Favatarsが有効化できない

ずいぶん古いプラグインですね。おそらく WordPress 2.5 に対応していないのでしょう。

ソースを見た感じでは、14行目に
$comment_favicon_exists = fav_maybe_add_column($wpdb->comments, 'comment_favicon_url', "ALTER TABLE$wpdb->commentsADDcomment_favicon_urlTEXT NOT NULL");
とありますが、$wpdb がグローバル宣言されていないため、メンバー変数にアクセスできないのが原因と思われます。WordPress 2.5 からは、プラグインの実行はグローバル空間ではなくなったため、WordPress コアが使うグローバル変数にアクセスする場合はグローバル宣言が必要になりました。

最近の記事で紹介している方がいらっしゃったので、古いとは気づきませんでした。

具体的にはどの記事でしょう? 人によっては、海外の記事を、内容の妥当性を確認せずそのまま翻訳して紹介していることがありますので、必ず一次情報 (配布元の公開日 etc) などを確認しましょう。人気のあるサイトだと言っても信頼性があるとは限りませんので、そのへんは要注意です。

同じようなプラグインがあれば良いのですが、なかなか探してもないみたいなので
諦めることにしました。

グローバル宣言を入れるという改造で動くかもしれないと思いましたが、それ以外に調整する箇所があるかもしれず、手に負えないようでしたら、あきらめるのも1つの選択だと思います。