こんにちは
Date Time Picker for Contact Form 7 プラグインはどうでしょうか?IE にも対応しているようです。
https://wordpress.org/plugins/date-time-picker-for-contact-form-7/
jQuery UI Datepicker でもいいのであれば下記のような数行のコードでできると思います。
function my_enqueue_scripts() {
global $is_IE, $wp_scripts;
if ( $is_IE ) {
wp_enqueue_script( 'jquery-ui-core' );
wp_enqueue_script( 'jquery-ui-datepicker' );
$ui = $wp_scripts->query( 'jquery-ui-core' );
wp_enqueue_style( 'jquery-ui-css', "//ajax.googleapis.com/ajax/libs/jqueryui/{$ui->ver}/themes/smoothness/jquery-ui.css" );
wp_enqueue_script( 'jquery-ui-js-ja', '//ajax.googleapis.com/ajax/libs/jqueryui/1/i18n/jquery.ui.datepicker-ja.min.js' );
wp_add_inline_script( 'jquery-ui-datepicker', 'jQuery( function() { jQuery( ".datefield" ).datepicker(); } );' );
}
}
add_action( 'wp_enqueue_scripts', 'my_enqueue_scripts' );