MXレコードを変更すると送信できない？

大変便利に使わせていただいております。

サーバーの引っ越しをしており、その作業中に遭遇した疑問についてご意見を頂けたらと思います。
引っ越しをするにあたり、まず初めにMXレコードだけを新しいサーバーに向けました。
その後無事に切り替わり、通常のメーラーでの送受信は出来るようになりました。

しかし、サイトに設置したフォームから送信しようとすると赤い枠のエラーメッセージが表示され送信ができませんでした。
フォームの送信先はメーラーでの送受信が確認できたアドレスに設定してあります。
MXの変更前までは送信されておりました。

サイトのDNSも変更すれば問題は解決するのですが、なぜこのようになるのか不思議です。

大きな問題ではありませんが、ご回答いただければ幸いです。
また、ネットワークやサーバーにあまり詳しくないので説明が不明瞭とは思いますがよろしくおねがいします。