singe.phpにてその記事のカテゴリ一覧（特定のカテゴリを除外）を表示したい

はじめまして。お世話になります。

・現在表示している投稿記事と同じカテゴリの記事一覧を表示したいです。
・記事一覧には現在表示している投稿記事は除外したいです。
・記事は複数のカテゴリに属していますが、特定のカテゴリ（子カテゴリも含む）は除外したいです。

いろいろと検索しまして、
見よう見まねで以下のコードをsinge.phpに入れてみたのですが、
特定のカテゴリ（子カテゴリも含む）を除外するにはどうすればいいでしょうか？
‘category__not_in’を入れてみたりしたのですがうまくいきませんでした。

<?php
$post_id = get_the_ID();
$cat_ = get_the_category() ;
$a = $cat_[1];

if (empty($a)) :
    $cat_ids = $cat_[0] -> term_id;
else :
    foreach ($cat_ as $cat_id):
        $cat_ids .= $cat_id -> term_id.",";
    endforeach;
endif ;

$rel_posts = new WP_Query (array(
    'showposts' => 3,
    'post__not_in' => array($post_id),
    'cat' => $cat_ids,
    ));
?>

<?php if( $rel_posts -> have_posts() ) : ?>
<?php while ( $rel_posts -> have_posts() ) : $rel_posts -> the_post(); ?>

<?php the_title(); ?>

<?php endwhile; ?>
<?php endif; ?>

<?php wp_reset_postdata() ?>

よろしくお願いいたします。