WordPress の寄稿者ユーザーはメディアをアップロードする権限がないため画像のアップロードが機能しない、ということはあるかもしれません。その場合はプラグインなどで権限を足すことで解決できると思います。
「関連（投稿タイプ）」についてはこちらでは同様の不具合を確認できませんでしたが、カスタム投稿タイプの定義の仕方などによって、というのはあるかもしれません。カスタム投稿の定義を行っている部分（例えば functions.php、Custom Post Type UI）だけを残して、デフォルトテーマ・全てのプラグインを停止すると、動作に変化はありますか？
トピック投稿者
Honda
(@rocketmartue)
Takashi Kitajima 様
ご回答ありがとうございます。
ユーザー権限は、編集者でも投稿者でも、カスタムフィールドでの画像のアップロードが出来なくなっていました。
クライアント用の管理画面カスタマイズで、WP Admin UI Customize を使用しているのですが、これを停止すると、画像アップロード、「関連（投稿タイプ）」のどちらも機能するようになりました。
管理画面のカスタマイズが必要なのでWP Admin UI Customize も使いたかったのですが、別の方法を探さないとダメみたいですね。
トピック投稿者
Honda
(@rocketmartue)
その後、色々と試してみて分かったことですが、
WP Admin UI Customizeの設定を全てリセットすると
管理者以外の権限でも
Smart Custom Fields で設定した「画像アップロード」「関連（投稿タイプ）」は、各投稿の編集画面で正常に動作します。
メタボックス管理（wp-admin/admin.php?page=wp_admin_ui_customize_manage_metabox）で、メタボックスの表示・非表示の設定をすると、
管理者以外の権限では
Smart Custom Fields で設定した「画像アップロード」「関連（投稿タイプ）」は、各投稿の編集画面で機能しなくなります。
