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こんにちは

tml_new_user_registered フックの代わりに register_new_user フックを使用するといいようです。

function my_tml_redirect_url( $url, $action ) {
	if ( $action == 'register') {
		$url = home_url( 'foobar' ); // ここで $url にリダイレクト URL を設定
	}
	return $url;
}
add_filter( 'tml_redirect_url', 'my_tml_redirect_url', 10, 2 );

function my_register_new_user( $user_id ) {
	$user = get_user_by( 'id', $user_id ); 
	if ( $user ) {
		wp_set_current_user( $user_id, $user->user_login );
		wp_set_auth_cookie( $user_id );
		do_action( 'wp_login', $user->user_login );
	}
	$userdata = get_userdata( $user_id );
}
add_action( 'register_new_user', 'my_register_new_user' );

すみません。ちょっと訂正です。

無駄なコードが含まれていました。
$userdata = get_userdata( $user_id );
は無意味なコードですね。削除してください。(^^;

あと、問題解決したようなのでトピックを「解決済み」にしておいてくださいね。