CGさま
早速のご回答ありがとうございます。

>商品カテゴリという、独自のカスタム投稿タイプと見て良いでしょう。
>$cat の代わりに $Product では、いかがでしょう。

$cat = get_the_category();ではなく
$Product = get_the_category();ということでしょうか？
素人ですいません、

カスタム投稿タイプということでしたらget_the_termsを使うといいのでしょうか？

gblsmさま

ありがとうございます。
マニュアルあったんですね。見逃してました。
失礼しました。

$terms = get_the_terms($post->ID,'product_cat');
foreach ( $terms as $term ){
	$term_id = $term->term_id;
}

これで無事商品カテゴリーのIDを取得することができました。