wordpress 3.6.1-ja に更新できない

自動アップデートはWordPressを設置しているサーバー環境に依存します。
サーバーのスペックにもよりますが、貧弱な場合、ダウンロードやその後の圧縮ファイルの展開、コピーなどに時間がかかる場合があります。
また、これはレンタルサーバーにもよるのですが、共有（共用）サーバーの場合、負荷のかかる状態が一定時間続くとサーバー側で強制的にスクリプトを停止させる場合もあります。

http://ja.wordpress.org/
より、最新版のWordPressをダウンロード、解凍の上、(S)FTPソフトを使ってご自身でサーバーにファイルを転送し、アップグレードしてください。

参照
WordPress のアップグレード/詳細

どこで止まってしまったかなどは、サーバーのスペックもですがログを見ないとちゃんとした原因は探しづらいですよ。

サーバーに詳しく無く、そういったログから原因を突き止めるのが難しいのであれば時間がかかるだけです。
であれば、手動でアップグレードした方が手っ取り早いんじゃないですかね？
と言うお話です。