wp_headで吐き出されるscriptだけを最下部に

不可能では無いですが、現状のWordPressの仕様では非常に難しいです。

頻繁にプラグインを入れ替えたり、テーマを更新したりしないのであれば。あらかじめ使う必要のあるJavaScript（JSファイル）を全てリストアップして置き。自分で手打ちでテーマ内の footer.php に追記して置く方法が一番確実な方法です。

ただしこの方法を使うと、wp_header関数が呼び出された時に、footerに追記したJSファイルと重複してしまいます。ですので wp_header の記述も同時削除して、やはり自前で header.php に必要なCSS設定やMETA設定等を記述しておかないとなりません。ある程度の中～上級者向けの解決方法です。

P.S.
自分はテーマ自体も自作（改造適用）で、wp_header～wp_footer共に使用せずに、自作の関数でヘッダとフッタを書き出す様にしています。が、あまりスマートな方法だとは思いません。故に他人にも推奨しません。

Head Cleaner 作者です。

そこでHead Cleanerというプラグインを見つけたんですが、
これを使うと、ある大事なプラグインが動かない現状です。

参考までに競合するプラグインの名前と配布先を教えていただけますか？
対応できるようであれば、対応します。

私が確認してる所では、カートに行った時、買い物を続けるボタンが使えなくなります。

そもそも Welcart が吐き出す js は、フッタ部に持っていっても動作するのでしょうか？
そこから確認する必要があると思います。
Welcart のデモサイト( http://www.welcart.com/demo/ )を見た感じだと、JavaScript をフッタ部に移動させるとボタン類はすべて動作しなくなると思われます。
# ボタンの onclick イベントに書かれている uscesCart.previousCart(); が、ボタンより前に記述されていなければ、動作不可。

Head Cleaner には、任意の js のみフッタ部に移動する機能もありますので、まずは WelCart が生成した js は、フッタ部に移動せずに動作確認してみてください。