wp_nav_menu()にてメニューが存在しない場合と、メニューが存在する場合のHTM

特定の箇所をwp_nav_menu()にてメニューを作成しています。
メニューが存在しない場合と、メニューが存在する場合のHTML出力で悩んでいます。

メニューが存在しない場合、
<div class="xxxx"><ul>
と表示され、
メニューが存在する場合、
<div class="xxxx"><ul id="xxxx" class="xxxx">
と表示されます。

パラメータを使ってみたのですが、
ログインする前の
<div class="xxxx">
のクラスが、ログインした後の
<ul id="xxxx" class="xxxx">
のclassで同じになってしまうのがちょっとネックです。
両方で使い分けできれば良いのですが…。

そこで、
方法①として、
メニューが存在しない場合でも存在する場合でも
<div class="xxxx"><ul id="xxxx" class="xxxx">
とHTMLを出力できればと思っています。

方法②として、
メニューが存在する場合の
<ul id="xxxx" class="xxxx">
のclass=”xxxx”そのものを出力させない方法があれば良いのですが。

どなたかご教示いただければ幸いです。