恐らく改ざんを受けたのではないかなと考えられます。
Wordpressの場合、ソースファイルの改ざんを受ける入り口は2箇所ありまして、
一つは通常のWordpressログイン画面からログインID,パスワードを突破されてダッシュボード上から改ざんを受けるケース。
もう一つが、サーバ接続情報が漏洩してFTP等から改ざんを受けるケースです。
前者については、サーバのアクセスログを確認すれば不正ログイン試行の形跡が確認できると思います。
アクセスログについては、基本的にサーバのコントロールパネルから確認できると思いますので、4/6~4/7の間で怪しいログがないか確認してみるといいと思います。
後者については、サーバのコントロールパネル上でログ確認できる場合とできない場合があります。(サーバ会社によって異なります。)
これについては、Xサーバーに問い合わせれば確認が取れるかもしれません。
さて、本題の復旧についてですが、
プラグイン等でバックアップファイルを保管していればそのバックアップファイルで復旧が行えます。
もしバックアップファイルがない場合は、問題を引き起こしているファイルを発見し個別に対応するような形になります。
> 昨日(4/6)早朝までは問題なく使えていたのですが、
今朝ログインしてみると、管理画面には入れるのですが、ダッシュボードの表示が崩れて真っ白になってしまっています。
> 一部サイト内のリンクが(aboutページなど)アドレスは変わっていないのに全く関係のない通販サイトになっています。
この2つの事象からもしかするとソースの改ざんを受けているのではないかなと思います。
> Warning: require(サイトアドレス.com/public_html/wp-admin/wp-blog-header.php): failed to open stream: No such file or directory in /サイトアドレス.com/public_html/wp-admin/index.php on line 20
このメッセージについては、/public_html/wp-admin/wp-blog-header.phpが見つからないことを指しているので、もし可能であればFTPでサーバに接続し、実際にファイルが存在するか確認してみてください。
また、その他ファイルのタイムスタンプを見て昨日から今日事象確認した時間までの間に書き換えられているようなものがないか確認してみるといいかもしれません。