gogoweb

サムネイルを表示したい箇所に

echo get_the_post_thumbnail($child->ID);

で表示できませんか？

borderじゃなくてbackgroundで指定しているようですね。
style.cssの692行目あたりの

.entry-asset img｛
 background: none repeat scroll 0 0 #CCCCCC;
}

の background: none repeat scroll 0 0 #CCCCCC;を削除すれば表示されなくなります。
＊ただし他の場所でも使っていた場合の影響は保証しませんが。

ああ、ソース読み間違えましたすみません。
マルチサイトでない場合　または
メディアアップロードのボタンで画像にチェックが入っている場合
メタボックスを出力ですね。
y-nishiさんの言うとおりメディアアップロードの画像ボタンにチェック入れると表示できるようです。テストサイトで確認しました。

追加情報一応

add_filter('content_save_pre','set_allowedposttags',8);
function set_allowedposttags($content){
global $allowedposttags;
$allowedposttags['dl'] = array('class' => array ());
return $content;
}

これでdlのクラス属性を許可できました。
動作を完全に検証していないので不具合もあるかもしれませんし、もっと効率がいい方法があるかもしれません。

have_postsは投稿があるかどうかを確認して、the_postは投稿を一つ読み込みます。
そのため上のコードだと最新一件が読み込まれません。（というかスキップされる）
とおもったらquery_postsが２回宣言されてるのですね、正しくは下記のコードで多分動きます（確認してませんが）

<?php query_posts("showposts=0&category_name=岩のテクスチャ"); ?>
<?php if(have_posts()): ?>
<!--ここから岩のテクスチャ-->
<div class="hp-plan">
<h4>最新の岩のテクスチャ</h4>
<div class="hp-p-list">
<?php while (have_posts()) : the_post(); ?>
<table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<th>" rel="bookmark"><?php echo get_post_meta($post->ID,'number',TRUE); ?></th>
<td><?php echo get_post_meta($post->ID,'classify',TRUE); ?></td>
<td><?php echo get_post_meta($post->ID,'place',TRUE); ?></td>
<td><?php echo get_post_meta($post->ID,'terms',TRUE); ?></td>
</tr>
</table>
<?php endwhile; ?>
</div>
</div>
<!--ここまで岩のテクスチャ-->
<?php endif; ?>

ここに同じ症状の人がのっていました。
http://f-stream.net/2010/01/div-id_mceaste/

safariとchromeが駄目らしいのでWebKitエンジンが何か相性わるいんですかねえ？

非ログインユーザーでもプレビューが見れるってことは
一般の人も見ることができる可能性がでるわけで、まずい状況にならないとはかぎらないのがネックですね。

一番いいのが閲覧用のユーザーを作成してログインすることでしょうが、
無理矢理やるというならクライアントのＩＰをチェックしてそのＩＰ以外からはじくようにするとかでしょうか？

なんか上の書き方だと、テスト用サイトもローカルではなくWEB上にあってそれをクライアントに見せてる感じで、やっぱり検索かなんかから飛んできた人には見られるんじゃないかなあ？と不安にもなってきました。