yousan

パーマリンクの値が違うのですね。

環境がないので推測になりますが、
$posts = $wpdb->get_results(
の戻り値は取れているでしょうか？
var_dump($posts);などの出力はどうなりますか？

ifの中に入っていないのかなと思います。

if(!empty($posts)){
   $id = $posts[0]->ID;
}

なるほどー、僕も似たような案件がありまして、その際にはプログラムで全てのカスタムフィールドを埋めるようにしました。

他にはsingle.phpを呼んだ際にカスタムフィールドをチェックし、値が入ってなければ埋める、というのもやったことがあります。

そういった解決方法はいかがでしょうか〜？

こんにちはー。

現在のfunction.phpに足す形で出来ないのでしょうか？

とのことですね。single.phpやcontent.phpなど編集するファイルがいくつかに別れていたりしますし、twentytwelve_entry_meta()を編集しておられるようで、functions.phpで解決したいとのことですね。

下記のような動作でよかったでしょうか？

https://gyazo.com/c8331ee1411feb75b913cc974835fbe6

コードは以下のようになります。
twentytwelve_entry_metaの一部を改変しました。

if ( $tag_list ) {
        $utility_text = 'カテゴリー: %1$s | タグ：%2$s | 投稿日: %3$s | ';
    } elseif ( $categories_list ) {
        $utility_text = 'カテゴリー: %1$s | 投稿日: %3$s | ';
    } else {
        $utility_text = '投稿日: %3$s | ';
    }

    if ( ($modified_time = get_the_modified_date()) != get_the_date() ) {
        $utility_text .= '最終更新日: '. $modified_time;
    }

    printf($utility_text, $categories_list, $tag_list, $date);

管理画面のパーマリンク設定が間違っているように思います。

https://gyazo.com/fc2327802993bdd37ddc4483cf8eb14e

管理画面の「設定 > パーマリンク設定」から
「カスタム構造」のテキストに「/archives/123」と入っていませんか？
「/archives/%post_id%」にしてみてください。

<?php
$catargs = array('taxonomy' => 'workshop-cat');
$catlists = get_categories( $catargs );
global $post; // なんで？って感じですがsetup_postdataを使う際にはこれを入れないと動かないことがおおいです
foreach(array_reverse($catlists) as $cat):
    $args = array(
        'post_type' => 'workshop',
        'workshop-cat' => $cat->slug,
        'offset' => 1, // ここで最新記事を1件省いています
    );
    $posts = get_posts($args); // $postのararyなので$postsとしておくと自然です
    if (empty($posts)) {
        continue;
    }
    ?>
    <section>
        <h2><span><?php echo $cat->name; ?></span></h2>
        <div>
            <ul>
                <?php
                foreach ($posts as $post) :
                    setup_postdata($post);
                    ?>
                    <li><a href="<?php the_permalink(); ?>"><?php the_title(); ?></a></li>
                <?php endforeach; ?>
            </ul>
        </div>
    </section>
<?php endforeach; ?>
<?php
 // wp_reset_postdata(); // query_postsを利用すると必要ですが、恐らく今回は必要無いと思います
?>

『一番新しい投稿記事だけ非表示にし、記事が表示されていないカテゴリも非表示』にしたいとのことですね。
テスト環境を構築してやってみました。

上記のコードで試してみてください〜。

検索結果にカテゴリごとの結果も出したい、ということですね。

PHPを組み合わせる必要がありますね。

# 検索オプションで投稿を抜き出す
# 投稿のカテゴリを配列に取得する
# 配列を吐き出す

という順序になるかと思います。

ふわっとした回答になりますが、pre_get_postsを利用してみるのはいかがでしょうか〜