yousan

何とも特定しがたい現象ですね。でもすごく困ってしまいますね。
僕も似たような…、似ていないような…、へんな状態になったことがあります。

いくつか原因を挙げますね。
* WP Super Cacheの設定が原因だった
* サーバ側の転送量制限にひっかかった
* サーバ側のコネクションあたりの転送制限に引っかかった
(VPSとかだと起きますけどホスティングだと起きにくいですね)

特定するにはブラウザの開発者ツールのネットワークの項目を利用するとわかったりします。

直接的な解決方法ではないので参考までに。

手元で試してみました。

下記のコードでうまく、「月、水、金」のいずれかにチェックが入っている記事を抜き出せました。

$args = array(
    'post_type' => 'post',
    'posts_per_page' => -1,
    'meta_query' => array(
        'relation' => 'OR',
        array(
            'key' => 'week',
            'value' => 'w0', // 月
            'compare' => 'LIKE',
        ),
        array(
            'key' => 'week',
            'value' => 'w2', // 水
            'compare' => 'LIKE',
        ),
        array(
            'key' => 'week',
            'value' => 'w4', // 金
            'compare' => 'LIKE',
        ),
    )
);
//$the_query = new WP_Query($args);
var_dump(get_posts($args));

記述のところで生まれてしまったバグですね。
meta_queryの中身が二重の配列になっているせいで認識できないんだと思います。

下記のコードは質問者さんのコードに合わせた書き方です。

for($i=0; $i<=6; $i++) {
    $str = 'w'.$i;
    $week_meta_arr[] = array(
        'key' => 'week',
        'value' => $str,
        'compare' => 'LIKE',
    );
}
$week_meta_arr['relation'] = 'OR';

$args = array(
    'post_type' => 'post',
    'posts_per_page' => -1,
    'meta_query' => $week_meta_arr,
);
var_dump(get_posts($args));

$wpdbのrows_affectedに変更があった件数があります。
また$wpdb->queryの戻り値もupdate文の場合には件数が整数で戻ってきます。
https://core.trac.wordpress.org/browser/tags/4.1.1/src/wp-includes/wp-db.php#L1542

エラーについては$wpdb->last_errorに格納されます。
こちらもコードを参照してください。
https://core.trac.wordpress.org/browser/tags/4.1.1/src/wp-includes/wp-db.php#L2076

スタイルシートが読み込まれないとのことですね。
その場合には「サイトのアドレス」と「WordPressのアドレス」が違った場合によく発生します。
今回の場合にはリニューアル用にサイトアドレスを変更されたとのことなので恐らくそれが原因です。
下記のアドレスを参考に変更されると直ります。
http://wpdocs.sourceforge.jp/Giving_WordPress_Its_Own_Directory

が、

リニューアル前のホームページもできれば見れるように残しておきたいです。こちらは前担当者が作ったホームページでwordpressは使わず、php、データベースを使っているようですが、おかしくなったらこわいので、サーバー上のデータはさわりたくないのです。いい方法がないでしょうか？

とのことで、yearさんは企業さん、個人商店さんのようですので、こういったことができる業者さんにお手伝いしてもらうことが無難と思われます。

if文の位置を変えてみてはどうでしょうか？

<tr><th colspan="3" class="area"><?php echo post_custom("shoplist_area"); ?></th></tr>
	<?php while(have_posts()): the_post();
           if(get_post_meta($post->ID,'shoplist_store',true) == 'store01' && get_post_meta($post->ID,'shoplist_area',true) == '関東エリア'):
	<tr>
		<th>
			表示内容
		</th>
	</tr>
        <?php endif; ?>
	<?php endwhile; ?>

Daisuke Takahashiさんの仰る通り、APIを使うのが楽です。

MySQLに直接入れるのも可能です。
基本的にwp_postsへinsertすればおおかたは動きますが、MySQLの3306を公開するのはあまり推奨されませんので、自分で踏み台APIを作ってwp_insert_postすれば良いとおもいます。

期待に添えるようなものでよかったです。
手元で試験しているわけではないのでまたもやあれなのですが、中央あたりの
<?php endif; wp_reset_query();?>
この行に、the_post(); を入れてみてはどうでしょうか。
<?php endif; wp_reset_query(); the_post(); ?>