katakuri

最初に自分が書いた
<?php $cats = get_the_category(); ?><!– カテゴリーの情報を取得 –>
の部分がダメだったようで、エラーがでまくってました・・・（滝汗）

<!-- カテゴリーの情報を取得 -->
<?php
	 $cat = get_queried_object();
	 $cat_name = $cat -> name;
	 $cat_slug = $cat -> slug;
	 $cat_description = $cat -> description;
 ?>
<!-- 現在のカテゴリーのスラッグと一致するスラッグ名のついたカテゴリー用画像が、親テーマのimagesフォルダ内にあったら -->
<?php if ( file_exists( get_template_directory() . "/images/category-img-{$cat->slug}-640x360.jpg" ) ) : ?>
<div class="cate_itemright"><img src="<?php echo get_template_directory_uri(); ?>/images/category-img-<?php echo $cat_slug; ?>-640x360.jpg" alt="<?php echo $cat_name; ?>" /></div>

<!-- 条件2　子テーマのimagesフォルダ内にあったら -->
<?php elseif( file_exists( get_stylesheet_directory() . "/images/category-img-{$cat->slug}-640x360.jpg" ) ) : ?>
<div class="cate_itemright"><img src="<?php echo get_stylesheet_directory_uri(); ?>/images/category-img-<?php echo $cat_slug; ?>-640x360.jpg" alt="<?php echo $cat_name; ?>" /></div>

<!-- それ以外「No Image画像」を表示 -->
<?php else: ?>
<div class="cate_itemright"><img src="<?php echo get_template_directory_uri(); ?>/images/no-image640x360.png" alt="<?php echo $cat_name; ?>" /></div>
<?php endif; ?>

　　　↑
これでうまくいきました！！（画像ファイル名もちょっと変更）

「親テーマ」と「子テーマ」では参照するURLが違うのですね。
get_stylesheet_directory() と書いてくださったおかげで、「子テーマ」の対応も追加する事ができました。
気づかせてくださってありがとうございます。

知らなかったことばかりで、とても勉強になります！
本当にありがとうございました。