kawanishi

解決しました。些細なことでお騒がせして申し訳ありませんでした。

当初、WordPressの設定を以下のようにしていました。
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WordPress のアドレス (URL)：http://レンタルサーバURL/~sampleUser/wp
ブログのアドレス (URL)：http://www.sample.com
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が、これを、以下のように修正したところ問題なく動作しました。
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WordPress のアドレス (URL)：http://www.sample.com/wp
ブログのアドレス (URL)：http://www.sample.com
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使用したプラグインはこちらです。
・Angsuman’s Authenticated WordPress Plugin

レンタルサーバのサポートセンターに質問したところ、今回私がセッティングしている構成でBasic認証を設定すると、どうしても、数回入力ダイアログが表示されてしまうようです。なので、Basic認証ではなくプラグインなどを活用されてはどうでしょうか？との事でした。

プラグインを探して再チャレンジしてみます。お騒がせ致しました。

自己レスです（全部自己レスですが・・）
解決した訳ではないのですが、原因が判明したので、もし万が一にも何かの役に立てばと思いましたので、記述させてもらいます。

繰り返しログイン画面が出てしまう原因ですが、「設定」⇒「一般（一般設定）」の中にある、ブログのアドレス（URL）を設定していた場合に発生するようです。試しに、ブログのアドレス（URL）を消したところ、ログインできました。

私が WordPress に設定していた内容ですが、ブログ用ドメイン hogehoge.com を取得したので

　WordPressのアドレス（URL）　http：//本来のサーバのURL/~user/wp
　ブログのアドレス（URL）　　　http：//hogehoge.com

としていました。そして、WordPressをインストールしたディレクトリの、１つ上の階層（~user直下）にも、ディレクトリ構造に合わせて若干書き換えた index.php を配置することで、http://hogehoge.com へアクセスすれば、ブログが表示できていました。

ただ、ブログのアドレス（URL）を空にする（＝自動的にWordPressのアドレス（URL）で入力しているアドレスと同じになる）と、これまで作ったブログがうまく表示出来なくなってしまいました。

また、認証⇒ブログを表示する流れが、最初にイメージしていたものと違っていました。今回の方法だと、認証⇒一旦、登録ユーザのダッシュボードが表示される⇒画面上部の「サイトの表示」をクリックしてブログに移動する・・・という流れになってしまいました。認証したら、すぐにブログが表示されるものと思っていました。想定していた使い方が出来なかったので、この方法は諦めることにしました。

文章をまとめるのが上手くなくて、スミマセン。しかも、あまり役に立てちそうな情報ではありませんが、今回の顛末を報告させて戴きました。