Mee

既にwp_list_categoriesにより解決された様ですが、
最初のソースの点について書いておきます。

まず最初のエラーは（33行目の部分）は
<li><a href="<?php echo $term_link;>"><?php echo $term_title;?></a></li>
の部分で正しくは
<li><a href="<?php echo $term_link; ?>"><?php echo $term_title;?></a></li>
となり、PHPの閉じタグ漏れだと思います。

あと、その後の廻し方自体は

get_terms後にforeachで廻している所
$term_link = get_term_link($term_obj->ID);
が
$term_link = get_term_link(intval($term_obj->term_id), 'staff');

とかにしておかないと、おそらくエラーになります。要点は

・IDじゃなくterm_id
・get_term_link内はis_intでスラッグ名かIDの判定を行っているのでintvalで要整数値化
・第二引数のタクソノミー省略はエラー

だと思います。横やりスミマセン。

$chain .= 'term_id ) . '" title="' . esc_attr( sprintf( __( "View all posts in %s" ), $parent->name ) ) . '">'.$name.'' . $separator;

の部分でPHPエラーになっているのでは？