khh2004

jim912さんコメントありがとうございます。
早速試させて頂きましたが、上記のソースだと、現在いるページのカテゴリーIDが取得できていない状態でした。
jim912さんのソースを元に

<?php
foreach((get_the_category()) as $v_c) {
	if(is_category($v_c->cat_ID)){
		$v_cat = $v_c->cat_ID;
		$v_cat_list = wp_list_categories("orderby=id&hide_empty=0&title_li=&use_desc_for_title=0&child_of=$v_cat&depth=1&echo=0");
		if ( strpos( $v_cat_list, __( 'No categories' ) ) === false ) {
			echo "<ul>\n$v_cat_list\n</ul>\n";
		}
		break ;
	}
}
?>

上記の様にした所、思い通りの表示をさせる事ができました。
本当にありがとうございます。