とりあえず解決（回避）することが出来ました。
なぜそれが原因かは解明できていませんが、プラグインの『Event Calendar』を使用停止にすれば、投稿、メディア、ページともきちんと表示できるようになりました。
ただ、『Event Calendar』をWidghetで投稿記事のある日を表示するようにしていたのですが、不具合時もきちんと登校日とマウスアップでの投稿名もきちんと表示されていました（クリックして投稿を表示しようとすると、NOT FOUNDになるのですが）。
最初にプラグインを停止してテストしなくてはいけなかったところ、お騒がせいたしました。
もし何か原因となるようなことが分かれば、また追記させていただきます。
早速のご回答ありがとうございます。
＞移転先のサーバーでパーマリンクの利用に必要は mod_rewrite が利用できない
サーバーですが、移転元と移転先は、サーバー番号は違うのですが、同じレンタルサーバー（sixcore）です。同じレンタルサーバーなので条件は同じだと思うのですが、最初にwordpressをインストールせずにFTPでアップしているのと関係あるのでしょうか？
wordpress自体を一度インストール処理してから作業した方が良いのでしょうか？
＞.htaccess が移転できていない
他の方のフォーラム記事からもこの.htaccessの記事を見つけ、確認しました。
隠しファイルでしたので、確かにFTPでは移動できていなかったのですが、確認したところ移転後のサーバーにも存在しており（自動的に出来たのでしょうか？）、ファイルのテキスト内容も比べたのですが、移転元と移転先の内容は同じでした。
その他、些細なことでも結構ですので、ヒントになりそうなことがございましたらよろしくお願いいたします。
