LABE

get_the_category() ではなく get_categories() ですね。
だいたい以下のような感じになります。

<?php
global $wp_query;
$cat = $wp_query->get_queried_object();
$child_cats = get_categories('hide_empty=0&parent='.$cat->term_id);
foreach ( $child_cats as $child_cat ): ?>
<?php if ( $child_cat->slug === 'slug001' ): ?>
  <p><img src="http://XXXXXXX/XXXXXXXXXX"></p>
<?php elseif ( $child_cat->slug === 'slug002' ): ?>
  <p><img src="http://AAAAAAAA/AAAAAAAAA"></p>
<?php else: ?>
  <p><img src="images/no_image.gif" alt="画像はありません"></p>
<?php endif;
endforeach;
?>

4行目でその関数を使っていますが、 hide_empty=0 は「投稿が一つも属さないカテゴリも取得する」という意味なので、取得したくない場合は hide_empty=1 にしてください。

date_query の before と after は、デフォルトではその日時と全く同じ投稿日の投稿を除外するのですが、まさか投稿日時が秒まで同じで、なんてことはないですよね。
投稿Bでは正常でしょうか。
また order の ASC と DESC を入れ替えてみるとどうなりますか？

the_permalink() は the_permalink というフィルターフックを内部で適用するので、これに関数をフックするだけでいけますね。
functions.php に以下の内容を追加すると、カテゴリアーカイブページのループ内の the_permalink() でのみ、URLの末尾に ?catid=[カテゴリID] のようなGETパラメータを追加します。

function add_category_param( $permalink, $post ) {
    global $wp_query;
    if ( $wp_query->is_category && $wp_query->in_the_loop )
        $permalink .= '?catid='.$wp_query->get_queried_object_id();
    return $permalink;
}
add_filter( 'the_permalink', 'add_category_param' );

そして、このGETパラメータを個別投稿ページの「ページ送り」で拾います。
「次の投稿」と「前の投稿」へのリンクURLにも、GETパラメータを受け継ぎます。
以前の回答のコードからいろいろ変更されているので、ご確認ください。
特に、XSS防止のための esc_url() はお忘れなく。

// カテゴリIDの配列
$categories = get_the_category();
$cat_ids = array();
foreach ( $categories as $category ) {
    $cat_ids[] = (int) $category->term_id;
}
$get_string = '';
if ( isset($_GET['catid']) && is_numeric($_GET['catid']) ) {
    // GETパラメータがある場合
    $get_string = '?catid='.$_GET['catid'];
    $cat_id = (int) $_GET['catid'];
    if ( in_array($cat_id, $cat_ids, true) )
        $cat_ids = array($cat_id);
}
// 現在の投稿の日時
$post_time = $post->post_date;
// 前の投稿のクエリ
$prev_query = new WP_Query(array(
    'posts_per_page' => 1,
    'category__in' => $cat_ids,
    'date_query' => array(
        array(
            'before' => $post_time,
        ),
    ),
    'order' => 'DESC',
));
// 前の投稿のURL
if ( $prev_query->have_posts() ) {
    $prev_query->the_post();
    $prev_post_link = esc_url(get_permalink().$get_string);
}
// 次の投稿のクエリ
$next_query = new WP_Query(array(
    'posts_per_page' => 1,
    'category__in' => $cat_ids,
    'date_query' => array(
        array(
            'after' => $post_time,
        ),
    ),
    'order' => 'ASC',
));
// 次の投稿のURL
if ( $next_query->have_posts() ) {
    $next_query->the_post();
    $next_post_link = esc_url(get_permalink().$get_string);
}
// 投稿データのリセット
wp_reset_postdata();

GETパラメータの catid を持ち、その値が数値で、かつ現在の投稿が含まれるカテゴリのIDのいずれかに一致しなければ、無視するようにしています。
無視した場合の挙動は以前の回答と同じです。

追伸：
上記の方法では、カテゴリアーカイブのページから個別投稿ページに来た場合にしか、元のカテゴリを判別することはできません。
特に昨今ではサイトの訪問者は検索エンジンから直接、個別投稿ページに訪れるという場合がほとんどだといいますから、この仕組みを実装してもあまり使われないかもしれません。
GETパラメータ付きのURLを検索エンジンにインデックスさせるのはまずいですもんね。

「関係のないカテゴリーへも不規則にリンクされてしまい」とは、投稿1のカテゴリAとは無関係のカテゴリCに属する投稿3にリンクされる、という意味でしょうか。
そうであるなら、WordPressの仕様通りであり、俺のコードの意図する通りですのでなんら問題ありません。
そうでなく全くの無関係の投稿にリンクされるとすれば問題ですが。

個別投稿ページの「親ページ」とか「元のページ」というのがカテゴリアーカイブページである、という認識に違和感があります。
ページAからリンクしてもページCからリンクしても、投稿1の内容は同じですし、それを判別する仕組みはWordPressにはありません。
「ページAから来た場合」と「ページCから来た場合」で投稿1の内容を変えるには、URLのGETパラメータ（クエリ文字列）やCookieを使って判別するくらいしか思いつきません。
例えば、ページAにある投稿1へのリンクにはURLに ?category=A を付ける、投稿1ではURLのGETパラメータからリンク元を知り、ページ送りの内容に反映する、とか。
後者は if ( isset($_GET['category']) && $_GET['category'] == 'A' ) といった感じでわりと簡単に判別できますが、前者はお使いのテーマ次第ですね。
不可能ではないですが、その場合色々と検討する必要があります。

• どのページからのリンクにどのようなGETパラメータを付けるか
• GETパラメータがない場合（カテゴリ以外のページから来た場合）、どのように表示するか
• 思わぬGETパラメータが与えられた場合にどう対処するか

それより、厳密に同一カテゴリ内でのページ送りが必要で、かつひとつの投稿が複数の（それぞれが無関係の？）カテゴリに属する、とはどのような形態なのか、よくわかりません。
投稿が単一のカテゴリのみを持つようサイト構成を見直す、というアプローチもあると思います。

グローバル変数 $page に現在のページ番号が格納されているはずです（まれにおかしかったりしますが……）。
よって global $page; if ( $page > 1 ) のように判別できます。

• この返信は9年、 2ヶ月前にLABEが編集しました。

即興でコードを書いてみました。
俺自身はウィジェットを使用していないので、テストはあまりしていません。
値のチェックは多少していますが、グローバル変数が思わぬ値になっているとバグるかもしれません……
リンク先のコードをお使いのテーマの functions.php に追加してください。
http://pastebin.com/SDJDAFLR
「前月」と「翌月」のリンクは、書き換えると未来の月になる場合は書き換えません。
それでも書き換えたい場合、「前月／翌月を書き換え」の部分の if 文を外してください。
なお、WordPress 4.7のソースをもとに書いているため、バージョンアップにより動作しなくなる可能性があります。

その画像は背景が透明なだけに見えますが……
ちょっとそのケース1のページを実際に見てみないと、何とも言えないですね。