LVP8

cateory-info.php の先頭（get_header();の上）に下記コードを加えたらどうでしょう。
＊未検証です。

if ( is_date() ) {
    return get_template_part( 'archive', 'info' );
}
get_header(); ?>

カスタム投稿タイプはfunctions.php に定義したものですか？
だとしたら、register_post_type() の rewrite に ‘with_front’ => false を設定すれば、カスタム投稿タイプについた/blog/を消す事はできますよ。

が、Custom Post Permalinks との兼ね合いは分かりません。

タグのアーカイブページは、質問の最初で /tag/abc/xxx.html と記述されて、その後 /tag/abc/ になっていますがどちらが正しいですか？

例えば「aaa」というタグの場合、アーカイブページのURL はどんな形式になっていますか？

example.com/tag/aaa/
ですか？ また、最後にスラッシュは付けてますか？ あるいは、
example.com/archive/tag/aaa/
のように何らかの接続語がつきますか？ それとも、最後に .html がつく（？）のですか？
example.com/tag/abc/xxx.html

アイキャッチの方ではなく、投稿欄で入力した画像が出ません

テーマは何をつかってますか？
これはブログ記事一覧（アーカイブページ）ですか？
新着情報、業務連絡、イベント情報などでは画像の表示に問題ないのですか？

３の表示件数変更のためのコードをどこに書くべき

ループが始まる前なら、テーマの先頭でも、loop.phpを読み込む直前でも大丈夫です。

メニューに出す「ブログ」の飛び先URLですが、
http://*****.com/?post_type=blog

特に問題はないと思います。僕はデフォルト設定（’query_var’ => true）にしています。
http://*****.com/?blog=投稿名

1. register_post_type の最後の4行を変更

   'page-attributes'
   ),
   'has_archive' => true
   )
   );

2. ページ「ブログ」を削除し、index-blog.php を archive-blog.php にリネームする。
   （そのページを他に使い回すのなら、ページスラッグの「blog」は変更しておく）
3. 表示件数を変更したいなら
   $loop = new WP_Query( array( ‘post_type’ => ‘blog’, ‘posts_per_page’ => 5 ) ); ぶぶんは

   query_posts($query_string . ‘&posts_per_page=5’); または
   query_posts(array_merge(array(‘posts_per_page’ => 5), $wp_query->query)); などで。
   ＊ポストタイプの指定は必要なし。

4. 念のためパーマリンクの更新を行う。（何も変更する必要はない）

これでページングも含め問題なく表示されると思いますy。
ポストタイプのアーカイブタイトルなどはこの辺を参考に。
http://varl.jp/note/wp-3-1-custom-post-type-settings-summary

gogoweb さんのアイデアで

functions.phpに

function ps_number( $post_type = 'post', $op = '<=' ) {
	global $wpdb, $post;
	$post_type = is_array($post_type) ? implode("','", $post_type) : $post_type;
	$number = $wpdb->get_var("
		SELECT COUNT( * )
		FROM $wpdb->posts
		WHERE @post_date@ {$op} '{$post->post_date}'
		AND @post_status@ = 'publish'
		AND @post_type@ IN ('{$post_type}')
	");
	return $number;
}

@（6箇所）は、削除するかバッククォートに変更してください。

single.php の表示したい箇所に
<?php echo ps_number(); ?>

// デフォルトは投稿（post）だけをカウント
echo ps_number();

// カスタム投稿 video だけカウント
echo ps_number( ‘video’ );

// post と video（配列で指定）
echo ps_number( array( ‘post’, ‘video’ ) );

// 表示している投稿タイプだけ
echo ps_number( $post->post_type );

コードの正確性や安全性
完全には考慮されていません。また冗長なものになっている可能性があるのをご理解の上、
ご自身で検証いただくようお願いいたします。

mysql2date( 'Y/m/d', $p->post_date )
など
http://codex.wordpress.org/Function_Reference/mysql2date