manbo

そのコードをfunctions.phpに書いても何もならないです。
カテゴリーを1つだけ表示すればいいのなら以下のように。

add_filter( 'the_title', function( $title ) {
	if( !is_admin() ) {
		$title = $title.'<span class="category-name">' . esc_html( get_the_category()[0]->name ) . '</span>';
	}
	return $title;
} );

ただ、このままだと管理画面以外の全てが対象になるので最新記事一覧を表示するテンプレートに応じた条件分岐が必要なので、その辺は関数リファレンスの条件分岐タグインデックスを参照

以下のコード例はURLに.jpgが含まれていればclassを付与、それ以外は無しという内容でこのような感じの方が簡潔かと思います。
exif_imagetypeはファイルに対して実行可能な関数なのでURLの文字列には無意味です。

<?php
$img_url = get_the_post_thumbnail_url( get_the_ID(), 'full' );
$post_title= get_the_title()."のプリント";
if( strpos( $img_url, '.jpg' ) !== false ){
	$array = [
		'class' => 'jpgimage',
		'alt'   => $post_title,
	];
} else {
	$array = [
		'alt'   => $post_title,
	];
}
?>
<li><a href="<?php the_permalink(); ?>"><?php the_post_thumbnail( array( 80, 80 ), $array ); ?></a></li>

以後、マルチポストはお気をつけください。

並び順はpre_get_postsで変更できますが、平均値を算出してからソートするのではなく、ページ保存時にsave_post等のフックを利用してカスタムフィールドの平均値を保存しておく方が良いと思います。

質問に対する的確な返答ではありませんが

白い画面になるのはwp-content内のindex.phpが表示されているからで、試しにそのindex.phpにecho 'test';と書いてブラウザでアクセスすればtestと表示されるはずです。

index.phpを削除すれば403エラーになるはずですが、サーバーの設定によっては403エラーにならずにファイルの一覧が表示される可能性があるので、ファイル置き場であるwp-contentにindexファイルを設置する事でそれを防ぐという意味があります。

index of wp-includesやindex of wp-contentの文字を検索サイトで調べてみれば分かりますが、ファイル一覧が表示されるサイトはサーバーの設定に問題があるかあえて見せてるのかのどちらかですが、大半は海外のサイトで日本の一般的な共用サーバーならディレクトリリスティングは無効になっているのでファイル一覧が表示される事はありません。

index.phpを削除してファイル一覧が表示されないのであれば無くても構いませんし、index.phpに何か書き加えてコンテンツを表示させるのも問題ありません。

貴方がテーマに何かしら手を加えていなければテーマの不具合ですね。
有料テーマなら販売者に相談してください。

update_coreの権限が無いのかもしれません。
貴方はテーマのfunctions.phpにFTP等でコードを追加する事は可能ですか？

どのような状況なのか把握できないので、契約しているサーバー会社に問い合わせてみてください。