manbo

以下のコードをテーマのfunctions.phpに追加して管理画面のユーザープロフィール画面を開いてください。

add_action( 'show_user_profile', function () {
	$role = get_role( 'administrator' );
	#$role->add_cap( 'update_core' );
	echo('<pre>');
	print_r( $role->capabilities );
	echo('</pre>');
} );

一覧が表示されるかと思いますが、その中に[update_core]がありますか？
もし無ければ上記コードの3行目の#だけを消してページをリロードしてください。
一覧の中に[update_core]が表示されれば更新の表記が変わるはずです。

もし[update_core]が有るのにアップデートできないのであればテーマやプラグイン等の影響かもしれません。
一時的にテーマを別のものに変更する、プラグインを全て停止する等で改善するかお試しください。

また、何らかの原因でコアファイルが正常でないのかもしれません。
以下ページより現在使用中のバージョンのファイルをダウンロード、解凍してwp-contentフォルダを削除してFTPで上書きアップロードして更新出来るかお試しください。
https://ja.wordpress.org/download/releases/
(あくまで問題を解決する為の手段なので、じゃあFTPで6.2に更新すりゃいいじゃんて突っ込みはご勘弁ください。)

WordPress 6.2 が利用可能です。サイト管理者にお知らせください。

これは、if ( current_user_can( 'update_core' ) ) {で分岐して表示しているので、更新する権限がないユーザーで操作しているからだと思います。管理画面のユーザー一覧で使用しているユーザーの権限が管理者かどうかご確認ください。

更新する権限があるユーザーなら管理画面で

WordPress 6.2 が利用可能です ! 今すぐ更新してください。

と、表示されます。
尚、『更新する権限があるユーザー』はデフォルトは管理者のみです。

移転前のURLというのがデータベース等に残っているのでは？

例えば使えない方の端末でChrome以外のブラウザだとどうですか？

自信で制御するコードを書くかプラグインを使う以外デフォルトでは出来ません。

This plugin requires at least ACF Pro 5.8.と書かれてますね。
有償製品が絡むのでACFのサポートでお尋ねください。

適宜、改行してもらえませんか？
非常に読み辛いです。

403エラーが発生した際の経緯が分れば解決のヒントになるかもしれません。

WordPress本体の手動更新を試みてください。
これで改善しない場合はテーマのサポートにお尋ねください。