最初の質問の時点で混乱があったので書き直します。
ほかの2つのブログでも、ダッシュボードのカテゴリーごとの投稿カウントは、プライベート表示にしている分はかうんとされていませんでした。
ただ投稿がゼロでも、サイトのメニュー上には作ったカテゴリーは投稿がまだないものも含めてすべて表示されていますし、そこをクリックすれば各カテゴリーの記事が表示されます。
問題が起きているものではテーマがデフォルトのトゥエンティ・フィフティーンのままでも、左のナビゲーションメニュー内には「No categories」と表示されてしまい、ログイン、アウト時、ブラウザを変えても同じです。
プライベートからパスワード保護をかけると、メニュー内のカテゴリーにもアーカイブにも投稿が反映される状態になりました。
プライベート、パスワード保護、公開、と記事によってそれぞれの状態を使い分けたいのですが、プラグインを使わずに
- ログイン/アウトに関わらず、すべてのカテゴリをメニューに表示する
- プライベート時 ドラフト以外のすべての投稿がアーカイブにも反映される
- パスワード保護/公開時 それぞれ閲覧可能な記事のみがアーカイブに反映される
という設定にはできますでしょうか?
トラブルが起きていないほうの2つの WP では1つめまでは出来ています。
WordPress4.1 日本語版 テーマ:デフォルト、プラグイン:全停止
ブラウザは SRIron と Safari 、MySQL 5.5.40 、PHP5.3.3 です。