テーマの関数（functions.php）に以下のような関数を追加すれば、管理者以外の管理バーを消すことができます。
function remove_admin_bar(){
if (!current_user_can('edit_users')) { // edit_user(管理者)でなければ
add_filter('show_admin_bar','__return_false'); // アドミンバーを表示しない
}
}
add_action( 'admin_menu','remove_admin_bar' );
edit_usersの部分を変えれば表示したい権限を変えることができます。権限の種類は以下で確認してください。
公式codex:ユーザーの種類と権限
