Toshimichi Mimoto

index.phpもありますが、トップはindex-top.phpを読み込むようにindex.phpに記述がありました。

たぶん親テーマのindex.php で当該ファイルを読み込む関数に原因があるのではないでしょうか。
その部分はどう記述されてますか？
また、親テーマのindex.php をそのまま子テーマにコピーするとどうなりますか？

「管理者」＝”administrator” と理解しておりますが、

通常インストールしたあと、ただ一人のユーザーである @tatsupi さんは「管理者」＝”administrator”であるはずです。
「管理者」という表示は administrator という権限のラベルであり、administrator 以外の権限（例えばUser Role Editor で作られた新しい権限、またはプラグインが自動的に作成した権限）に同じ「管理者」というラベルをつけることも可能です。
「管理者」のつもりだけど「管理者」＝”administrator”ではない状態になっているのではないか、と想像したのです。

「manager」は私が作ったというより、「権限グループを変更する」という項目の中にあったので試しに追加してみたものです。私は権限についてこれ以外に全くいじったことはないです。

ユーザーの一覧でプルダウンで表示される「権限グループを変更…」でしょうか？
ここでなんらかの変更をしているとなるとやはりデフォルトのadministrator 以外の権限に代わっているのでは無いかと思うのですが…

試みていただきたいのは、やはりユーザーの新規追加です。
権限グループ「管理者」のユーザーを追加して、そのユーザーでログインし直してみてください。

もし、ユーザーの新規追加が出来ない、ログインし直してみても復旧しない場合は、現時点ではお手上げです。
https://ja.wordpress.org/support/topic/問題解決のためのチェックリスト-ドラフト版/
こちらの「トラブルシューティングの基本」に示されているように、すべてのプラグインの停止、デフォルトテーマへの変更を今一度やってみてください。

• この返信は7年前にToshimichi Mimotoが編集しました。
• この返信は7年前にToshimichi Mimotoが編集しました。

・wordpressユーザー権限：管理者, manager, BackWPup管理（ユーザーは私のみです）

当該プラグインはおそらく管理者権限がないとおっしゃるような（非）表示になるのではないかと推測されます。
ユーザーは1つしか作成していませんか？もしかして検証用など管理者権限を持っていないユーザーを作成していて、そちらでログインしている可能性はございませんか？

カテゴリーアーカイブのメインループで実現するなら、アクションフック pre_get_posts アクションを使ったほうが良いと思いました。

// functions.php
add_action( 'pre_get_posts', function( $query ) {
    if ( $query->is_main_query() && $query->is_category( 'aaa' ) ) { // aaa はカテゴリースラッグ、あるいはカテゴリーID
        $query->set( 'meta_key', 'pickup' );
        $query->set( 'meta_value, '1' );
        $query->set( 'orderby', 'rand' );
    }
}

https://wpdocs.osdn.jp/%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%82%A4%E3%83%B3_API/%E3%82%A2%E3%82%AF%E3%82%B7%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%95%E3%83%83%E3%82%AF%E4%B8%80%E8%A6%A7/pre_get_posts

get_posts の引数に、

'exclude' => array( get_the_ID() ),

を追加すると、メインのループで表示中の記事は除外されると思います。

—

あ、すみません。そういうことではなかったですね…

• この返信は8年前にToshimichi Mimotoが編集しました。理由: 見当違いの回答

get_post_type()はループ内でしか使用できず、ループ外で使用できるものがなさそうです。

引数に投稿ID、あるいは投稿オブジェクトをとればポストタイプが取得できますよ。

関数リファレンス/get post type – WordPress Codex 日本語版

アップデートをしたら直る可能性があるのでしょうか…？

可能性は十分あると思いますが、不具合はケース・バイ・ケースですので自己責任で対処をお願いいたします ^^;
作業される際はちゃんとバックアップをとってくださいね。

トップページのメニューバーはどういうコードで記述していますか？
wp_nav_menu が記述されている場合は通常、管理画面の外観 > メニュー で追加できると思います。
ナビゲーションメニュー – WordPress Codex 日本語版

もし、その他であれば、テーマの編集を要するでしょう。