mintchocolat

@munyagu 様、　@wildworks 様　

お二人のアドバイスのお陰で意図した動きになりました。
こんなに早く解決できるとは！！
本当にありがとうございました。

こちらで解決済みとさせていただきます。

その後、以下を試してみました。
いずれもdatepickerの日付フォームにエラー表示後は、入力してもメッセージが消えませんでした。
（後方の別の必須項目を入力・選択すると消えます）

【試したこと】

1．こちらを参考にさせていただき、送信ボタンを押したときにバリデーションが走るようにしました。
送信ボタンを押した後に日付フォームがエラーだった場合は、同じくメッセージが消えません。

2．バリデーションを別に設定
以下を子テーマのfunction.phpに入れましたが、上と同様でした。

add_filter('wpcf7_validate_text', 'custom_text_validation_filter', 20, 2);
function custom_text_validation_filter($result, $tag){
if ( empty($_POST['text-day'] ) && empty( $value ) ) {
$result->invalidate($tag, 'こちらは必須です');
}
return $result;

Contact Form 7 Date Time Pickerのプラグインデモサイトでも同じことが起こっていました。
https://wpapplab.com/contact-form-7-date-time-picker/

複数のクライアント様のサイトに利用しているのですが、他も同じ状態です。
最初の頃はこんな現象が起こらなかった気がします。
すごく気に入っているプラグインなので、できれば違うものに変更したくないです。
回避方法をご存じ方がいらっしゃいましたら、教えてください。
よろしくお願いいたします。

プラグイン・子テーマなし、デフォルトテーマのテストページを作りました。
（これまでのページは閉鎖しました）
https://tameru.jpn.org/test/

ご返信ありがとうございます。
投稿に不備があり、申し訳ございません。

以下の環境でも同じ状況でした。

・Contact form7以外のプラグイン無効化
・デフォルトテーマ（Twenty Twenty-Four）使用
・ブラウザキャッシュの削除
・ログイン、ログアウト状態
・上記の環境で複数ブラウザ
（Chrome、Edge、Firefox　すべて最新）

サーバー環境
さくらインターネット
OS：FreeBSD 13.0-RELEASE-p13 amd64
ウェブサーバー：Apache/2.4.62

各バージョン
WordPress 6.6.1
PHP 8.2.20、PHP 8.3.8 (いずれもモジュールモード)
MySQL 5.7

先程リンク先をWP_DEBUGモードにしました（本番と同じ環境のテストサーバーなので、表示したままになっています）
特に関連のあるエラーはないようでした。

よろしくお願いいたします。