Toshihiro Kanai

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と思ったんですがソースを見ているとテーマ側でのファビコンの設定は、WP 4.3 移行ではコア側でのものに置き換わっていて、テーマのカスタマイザーオプションは出てこないようです。にも関わらず、未だにその画像を保持しているためおかしな動作になってしまうようでした。

このコードを子テーマの functions.php に書いていただければ直ると思います。

remove_filter( 'wp_head', 'hu_favicon' );

ja.wordpress.org のページから WordPress の .zip ファイルを再度ダウンロードし、解凍して出てきた wp-admin と wp-includes ファイルをサーバーに上書きしてアップロードしてみてください。

必要なファイルがサーバーから抜けているように思えます。

#mainnav-mobi {
  width: auto;
}

で直るんじゃないでしょうか？

テーマによってライセンスは異なってくるのでそれぞれのテーマのライセンスを確認してください。GPLにはコピーレフトという概念があり、すべての WordPress を使った作品には GPL を適応させないといけないのですが、それの適応範囲はあくまで PHP ファイルのみとなっています。
ですので、テーマの PHP ファイルはすべて GPL ライセンスが適応されていますので、@munyagu さんがおっしゃる通り、著作権表示 と ライセンスの継承 をすれば使用できます。ただしこれは CSS, JS などの他のファイルには必ずしも当てはまらないことに注意してください。

ただし、WordPress.org のテーマディレクトリに配布されているテーマはすべてのファイルを GPL にすることを条件に配布されていますので、PHP, CSS, JS 等のすべてのファイルで GPL ライセンスが適応されることになります。ですからもちろんそれを推奨している側である WordPress.org の作ったテーマである Twenty 系列は GPL ライセンスが適応されます。

解決したようであれば解決済としてマークして頂けますと助かります。

ja.wordpress.org に行って最新版のパッケージをダウンロードして、解凍して出てきた wp-admin と wp-content をサーバーにあるフォルダに置き換えてみてください。
分かりにくくてすみません

ええっと、どういうことか掴めないのですが、一つのカテゴリーで別のアーカイブページを使いたいのであれば、category-{slug}.php というファイルを配置すれば自動で認識されそちらのテンプレートが使われます。

特定のカテゴリーすべての子カテゴリーで別テンプレートを作りたいのであれば、get_category() から parent の値を取ってきてテンプレートを読み込ませる、ということも出来るかと思います。

どちらのパターンなのか情報をお願いします