Safariのコンソール見たら、
「Error: Bootstrap’s JavaScript requires jQuery version 1.9.1 or higher, but lower than version 3」
って出てますよ。
後は、Apacheのログを見てみるなどして、原因を突き止めるしかないかと思います。
ブラウザで出ているエラーくらいしか、他人からは手がかりがないので、管理画面に入れたり、Webサーバのログを見たり出来る人でないとなかなか的確なことは言えないんじゃないかな…
>テーマの独自の更新のようです
要するに、TCDのテーマですよね。
有償配布のテーマで、更新も購入者限定なんで、
要求されるIDとパスワードは、販売元からダウンロードするためのIDとパスワードでしょう。想像ですが。
つまり、そのサイト自体にログインするものとは、全く別物です。
有償テーマの更新の仕組みは、販売元によってやり方は様々なので、
ここで聞いても答えは出ないですよ。
テーマの販売元に聞きましょう。