okesa

自己レスです。

解決しました。

高速化を目的とするプラグインを停止することにより、モバイルで閲覧時にレイアウトが崩れ、メニューボタンも動作しないという問題が解決しました。
テーマやワードプレスのバージョンはこの問題とは関係がないことが分かりました。

WP Super Chache
RS Head Cleaner Lite

上記ふたつを停止しました。
不具合に関係しいていたのがどちらのプラグインかはテストしていません。