自己解決しました。
私のミスでpre_get_postsのカスタマイズが、管理ページまで影響していたためでした。
失礼いたしました。
@ishitaka 様
こんにちは
大変参考になるページのご案内ありがとうございます。
まさに困っている内容の解説記事で大変参考になりました。
早速試しましてpostのsingleページのパーマリンクが/product/で始まる形にできました！
もう少し実装を進めて問題が出ないか確かめてみようと思います。
※今の所オジリナルで作ったパンくず出力の関数が階層化されていませんが、カスタマイズで乗り切れそうな感触です。
この問題で、素直にカスタム投稿タイプを作って対応したほうが良かったなと思っていましたが、良い情報を教えて頂き大変助かりました。
ありがとうございました！
もう少し実装を進めて問題なそうでしたらトピックを閉じさせて頂きます。
