Pineapplen

設定のチェックを行ないましたか？
管理画面「設定」メニュー内の「Kwebble」という設定ページで、チェックボックスにチェックを入れて更新する必要があります。

その上で、アーカイブを出力させるタグにカテゴリーのIDを教えてあげる必要があります。

wp_get_archives( 'cat='. 【カテゴリーID】 );

それでも反映しないという場合は、
これまでに検索をしたという「いろいろ」の内容を提示していただけると
アドバイスしやすいかと思いますよ。

Takuro Hishikawa様、まとめてくださってありがとうございます。

「Advanced Custom Fields」はループ外でも、
指定した「投稿」につけられたカスタムフィールドの内容を取得できます。

プラグインのドキュメントサイトで解説されています。
http://www.advancedcustomfields.com/resources/functions/the_field/

the_field($field_name, $post_id);

「$field_name」に作成したカスタムフィールドのフィールド名、
「$post_id」に「表示したい子ページのID」を入れてあげれば取得できます。
表示の際は、エスケープ処理をしましょう。

aタグの最後の　/　を削除してアクセスするとどうなりますか？

else文の後が実行されていないのであれば、問題はそこでしょうね。
検証していませんが、特定の投稿を呼び出すのは　get_post()　でＯＫでは？

CSSだけで設定することもできます（「画像置換」などのキーワードで探してみてください）。

もしくは、こういうこともできるようです。
http://bizvektor.com/bizvektor_urawaza/gmenu_img/

gqevu6bsizさんが書いてくださっています　「設定」>「一般」　での設定が、
都市名になっていない場合に、
「General Settings」 > 「Viewing Events」> Timezone
が表示されるのではないかと思います。
（プラグインのバージョンが1.7くらいの時はそうでした）
差しさわりがなさそうであれば、　「設定」>「一般」　の設定を都市名以外にして
（「UTC+9」とか）
プラグインの設定を都市名にするとどうでしょうか？
時間がずれる件に関しては、プラグインのバージョンが1.4くらいの時に
そういった報告をされているブログを見たことはあります。

完全には無理でしょうけど、トップページで個別ページへのリンクなどを表示させないようにしたり、各投稿ページのスラッグもユニークなものにすれば類推されにくくは作れると思います。