pluto1234

素直に get_posts() を使った方が良いと思います。この場合、人気＝コメントの多い順です。
★ functions.php

function comments_rank_where( $where = '' ) {
  $where .= " AND comment_count > 0";
  return $where;
}

<?php
global $post;
$args = array(
  'orderby'          => 'comment_count',
  'order'            => 'DESC',
  'suppress_filters' => false,
  'numberposts'      => 3
);
add_filter( 'posts_where' , 'comments_rank_where' , 10 , 1 );
$my_posts = get_posts( $args );
remove_filter( 'posts_where', 'comments_rank_where' );
if ($my_posts) :
  echo '<ul>'.PHP_EOL;
  foreach ($my_posts as $post) :
    setup_postdata($post);
    $commentcount = $post->comment_count;
?>
    <li><a href="<?php the_permalink(); ?>"><?php the_title(); ?></a>　<?php echo $commentcount; ?></li>
<?php
  endforeach;
  wp_reset_postdata();
  echo '</ul>'.PHP_EOL;
endif;
?>

※ Popular Posts や Post Views は、コメントの多さで人気を決めているのではないと思いますが・・。

<?php if(get_field('親フィールド')): ?>
    <ul>
    <?php while( has_sub_field('親フィールド') ): ?>
        <?php
        $url = get_sub_field('子フィールド1');
        $title = get_sub_field('子フィールド2');
        ?>
        <?php if (empty($url)) : ?>
            <?php if (empty($title)) :  ?> <!-- どちらもなし -->
                <li></li>
            <?php else : ?>                <!-- タイトルの入力のみ-->
                <li><?php echo $title; ?></li>
            <?php endif; ?>
        <?php else : ?>
            <?php if (empty($title)) : ?>  <!-- URLの入力のみ -->
                <li><img src="<?php echo $url; ?>" /></li>
            <?php else : ?>                <!-- 両方入力 -->
                <li><img src="<?php echo $url; ?>" /><?php echo $title; ?></li>
            <?php endif; ?>
        <?php endif; ?>
    <?php endwhile; ?>
    </ul>
<?php else : ?>
    <!-- 入力なし -->
<?php endif; ?>

そこは、さっき修正を追加しておきました。

それにしても

<?php if (get_query_var($taxonomy_name) == 1) : ?>

は、まったくおかしいです。

先頭と２番目以降を分けただけです。

<?php if(have_posts()): the_post(); ?>
	<?php if( $attachment_id = get_field('top_banner_img') ): ?>
		<?php
		$attachment = get_post( $attachment_id );
		$size = "full"; // (thumbnail, medium, large, full or custom size)
		$image = wp_get_attachment_image_src( $attachment_id, $size );
		$alt = get_post_meta($attachment->ID, '_wp_attachment_image_alt', true);
		$image_title = $attachment->post_title;
		?>
		<img src="<?php echo $image[0]; ?>" alt="<?php echo $alt; ?>" title="<?php echo $image_title; ?>" width="250" />
	<?php else : ?>
		<?php the_post_thumbnail(array(250,250)); ?>
	<?php endif; ?>
	<h3><a href="<?php the_permalink(); ?>"><?php the_title(); ?></a></h3>
	<?php the_time("Y.n.j") ?>
	<p><?php echo mb_substr(get_the_content(), 0, 150).'...'; ?></p>
<?php endif; ?>

<?php if(have_posts()): ?>
	<dl class="newEntry">
	<?php while(have_posts()): the_post(); ?>
		<dt><a href="<?php the_permalink(); ?>"><?php the_title(); ?></a><span><?php the_time("Y.n.j") ?></span></dt>
		<dd><?php the_excerpt(); ?></dd>
	<?php endwhile; ?>
	</dl>
<?php endif; ?>

ページネーションを付けることを考えると、こちらの方がいいかもしれません。

<?php if(have_posts()): ?>
    <?php if (get_query_var('paged') == 1) : ?>
	<?php the_post(); ?>
	<?php if( $attachment_id = get_field('top_banner_img') ): ?>
            <?php
            $attachment = get_post( $attachment_id );
            $size = "full"; // (thumbnail, medium, large, full or custom size)
            $image = wp_get_attachment_image_src( $attachment_id, $size );
            $alt = get_post_meta($attachment->ID, '_wp_attachment_image_alt', true);
            $image_title = $attachment->post_title;
            ?>
            <img src="<?php echo $image[0]; ?>" alt="<?php echo $alt; ?>" title="<?php echo $image_title; ?>" width="250" />
	<?php else : ?>
            <?php the_post_thumbnail(array(250,250)); ?>
	<?php endif; ?>
	<h3><a href="<?php the_permalink(); ?>"><?php the_title(); ?></a></h3>
	<?php the_time("Y.n.j") ?>
	<p><?php echo mb_substr(get_the_content(), 0, 150).'...'; ?></p>
    <?php endif; ?>

    <?php if(have_posts()): ?>
        <dl class="newEntry">
        <?php while(have_posts()): the_post(); ?>
            <dt><a href="<?php the_permalink(); ?>"><?php the_title(); ?></a><span><?php the_time("Y.n.j") ?></span></dt>
            <dd><?php the_excerpt(); ?></dd>
        <?php endwhile; ?>
        </dl>
    <?php endif; ?>
    <!-- ページネーション -->
<?php endif; ?>

その他、幾つか気になったので書いておきます。
1) if($the_query->have_posts()): が重なっています。
2) 閉じる方の /ul が足りません。
3) 最後は、wp_reset_postdata(); で十分です（$wp_query は破壊していないので）。

<?php
$args = array(
	'post_type' => 'article',
	'showposts' => 4,
	);
?>
<?php $the_query = new WP_Query( $args ); ?>
<?php if($the_query->have_posts()): ?>
	<ul class="newlistDouble">
	<?php while($the_query->have_posts()):$the_query->the_post(); ?>

<li><a>">
	<?php if( get_field('top_banner_img') ): ?>
	<?php
		$attachment_id = get_field('top_banner_img');
		$size = "full"; // (thumbnail, medium, large, full or custom size)
		$image = wp_get_attachment_image_src( $attachment_id, $size );
		$attachment = get_post( get_field('top_banner_img') );
		$alt = get_post_meta($attachment->ID, '_wp_attachment_image_alt', true);
		$image_title = $attachment->post_title;
	?>
	<img src="<?php echo $image[0]; ?>" alt="<?php echo $alt; ?>" title="<?php echo $image_title; ?>" />
	<?php else : ?>
	<?php the_post_thumbnail(array(115,115)); ?>
	<?php endif; ?>

	</a><span><a>"><?php echo mb_substr($post->post_title, 0, 25).'...'; ?></a></span><?php echo mb_substr(get_the_excerpt(), 0, 50).'...'; ?></li>
	<?php endwhile;  ?>
        </ul>
<?php endif; ?>
<?php wp_reset_postdata(); ?>

※追加：get_field(‘top_banner_img’) を何度も呼び出していますが、１回呼び出せばいいはずです。

wp_list_categories() で ‘walker’ を使えば良いと思います。
http://ja.forums.wordpress.org/topic/10238?replies=5

$paged の設定は？ここでは、書いていないだけ？
関係ないですが、’post_category’ なんて指定ありましたっけ？