Honda

お教えくださった内容を実行してみたところ、ボタンを押すとメッセージは出るようになりましたが、必須項目を入力してもエラーメッセージしか出ません。

どのようなエラーメッセージが出ていますか？
バリデーションエラーならmail.phpの任意設定の部分が間違っていませんか？

同じ階層にphpファイルをアップロードした、wordpressではない他のサイトの問い合わせページは問題なく機能しているのですが。

テーマフォルダ内にアップロードした場合は、
<form action=”mail.php” method=”post”>
の所を
<form method=”post” action=”/wp-content/themes/twentysixteen/mail.php”>
のように変更する必要があります。

<form action=”mail.php” method=”post”>
のまま使用するのであれば、ドメイン直下にmail.phpをアップすればOKです。

試しにUTF-8版をダウンロードしてみましたが、twentysixteenでは、問題なく送信できています。

設置方法
http://www.php-factory.net/mail/01.php#section04
この通りに設置するのであれば、テーマフォルダ内にmail.phpをアップロードすることになります。
フォームの呼び出しは、
<form action="mail.php" method="post">
この１行ですので、テーマフォルダ以外にmail.phpをアップロードするのであれば、
mail.phpの所をフルパスに書き換えてください。

フォーラム掲載後一週間以上経ちましたが
誰も何も言っていただけないんですね。
何が足りないんでしょうか？

ここでは、プラグインの作者さんも含めて皆さんボランティアで回答されています。

ここで質問やヘルプを求めたとき、答えることで直接の報酬をもらえる人はいません。回答してくれる人に対しての礼儀を忘れないようにしてください。

デフォルトのテーマで機能しているということは、オリジナルで作成されているテーマに問題があると思うのですが、オリジナルテーマの中身がどうなっていて、どんなコードが書かれているのかが分からない限り誰も答えようがないのではないですか？

airarimichiさんのオリジナルテーマがどのようなものかが分かれば、何かしらの答えがみつかるかもしれませんが、テーマについての情報が全くないので、もう少し情報を上げてみてはどうですか？
何かのテーマをベースにしているのならば、ベースにしたテーマ名など。

問題解決のためのチェックリスト

<?php if (wp_is_mobile()) :?>
	スマートフォン向けコンテンツ
<?php else: ?>
	PC向けコンテンツ
<?php endif; ?>

このコードを以下のようにスマホ、PC、それぞれ別々に分けます。

<?php if (wp_is_mobile()) :?>
	スマートフォン向けコンテンツ
<?php endif; ?>

<?php if (!wp_is_mobile()) :?>
	PC向けコンテンツ
<?php endif; ?>

これをショートコードにしたものが、こちら

記事内で以下のショートコードで囲ったコンテンツはmobileのみ閲覧可能になる
[mobile]mobileにだけ表示します。[/mobile]

function shortcode_mobile( $atts, $content = null) {
    if (!wp_is_mobile()) return "";
    return $content;
}
add_shortcode('mobile', 'shortcode_mobile');

記事内で以下のショートコードで囲ったコンテンツはmobile以外で閲覧可能になる
[pc]mobile以外で表示します。[/pc]

function shortcode_pc( $atts, $content = null) {
    if (wp_is_mobile()) return "";
    return $content;
}
add_shortcode('pc', 'shortcode_pc');

ただ、これだとipadやNexus 10などのタブレットもスマホ表示になってしまうので、タブレットは、PC表示でという場合は、スマホならtrue, タブレット・PCならfalseを返す is_mobile 関数を新たに設定します。

function is_mobile(){
    if(wp_is_mobile()){
        if(preg_match('/ipad/i', $_SERVER['HTTP_USER_AGENT'])){
            $is_mobile = false;
        }
        elseif(preg_match('/Nexus 10/i', $_SERVER['HTTP_USER_AGENT'])){
            $is_mobile = false;
        }else{
            $is_mobile = true;
        }
    }else{
        $is_mobile = false;
    }
    return $is_mobile;
}

その上で、以下のようにするとスマホの表示と
PC・タブレットでの表示を分けることができます。

記事内で以下のショートコードで囲ったコンテンツはスマホのみ閲覧可能になる
[is_mobile]スマホにだけ表示します。[/is_mobile]

function shortcode_is_mobile( $atts, $content = null) {
    if (!wp_is_mobile()) return "";
    return $content;
}
add_shortcode('is_mobile', 'shortcode_is_mobile');

記事内で以下のショートコードで囲ったコンテンツはスマホ以外で閲覧可能になる
[is_pc]スマホ以外で表示します。[/is_pc]

function shortcode_is_pc( $atts, $content = null) {
    if (wp_is_mobile()) return "";
    return $content;
}
add_shortcode('is_pc', 'shortcode_is_pc');

こちらのサイトで詳しく説明されています。
BackWPUpで確実にWordPressのバックアップを取る方法
簡単！WordPressのバックアップデータの復元方法

BackWPupについては、日本語の情報も多いのでgoogleで検索すれば、他にも情報が出てくると思います。

一部のファイルというのが何なのかが分かりませんが、
保存先をDropboxにした場合でもlogファイルやtempフォルダは、デフォルトの設定でwp-contents/uploads 内に作成されます。
仕様ではないでしょうか。

4.4アップデートで一部スマホ端末表示で画質劣化こちらと重複しているようなので、解決済みにしておいて下さいね。