mocomoco

phpで条件分岐を行うのであればfile_exists関数を利用するのが簡単だと思います．
今回の場合であれば

<?php
$image_url = home_url('').'/img/'.get_post_meta($post->ID,'t-code',true).'.jpg';
$image_url = esc_url($image_url);
if(file_exists($image_url)) { //画像がある場合
  echo '<a href="'.$image_url.'">';
  echo '<img src="'.$image_url.'" width="60">';
  echo '</a>';
} else { //画像がない場合
  $image_url = home_url('').'/img/代替画像.jpg';
  $image_url = esc_url($image_url);
  echo '<img src="'.$image_url.'" width="60">';
}
?>

以上のようにリンクのあるなしが，分岐可能です．
ただ，file_existsを利用することが最適解とは限らないので，
そのあたりはご自身で工夫してみてください．

動作確認はしておりませんので，もしかしたらタイプミスがあるかもしれません．

こちらで同様の質問がされていたようなので一応リンクしておきます。
（約4年前のものなので内容が古い可能性が高いです。）
http://wordpress.stackexchange.com/questions/4616/how-can-i-call-preview-post-from-wp-remote-get-with-authentication

ここではPublic Post Previewというプラグインを使用しているようですね。

やはりWordPress SEOプラグインが原因のようですね。

とりあえずWordpressを復帰させるために、
https://wordpress.org/support/topic/fatal-error-class-wpseo_options?replies=60#post-6605891

Note: to manually deactivate the plugin and get access to the site/admin, rename the plugin folder wp-content/plugins/wordpress-seo to wordpress-seo-deactivated.

このような形でFTPからwordpress-seoフォルダの名前を変更（もしくは削除）すれば、
Wordpress自体にはアクセスできるようになると思います。

WordPress SEOプラグインを使いつづけたいのであれば、
https://wordpress.org/plugins/wordpress-seo/
こちらから直接ダウンロードしてからFTPでアップロードという形を取ってください。
（もしかしたら同じエラーでまたアクセスできなくなる可能性もあるので、SEOプラグインを違うものに変更する事を検討したほうがよいかもしれません。）

コード(htmlタグなど)を投稿するときは逆クォートで囲むようにしてください。
（コード部分を選択してcodeボタンをクリックでOKです。）

phpからの出力にはechoやヒアドキュメントを使うなどの方法がありますが、
<a href="<?php the_permalink(); ?>"><?php the_title(); ?></a>
のようにphpとhtmlを切り替える方法もよくあるパターンですね。
http://php.net/manual/ja/language.basic-syntax.phpmode.php

同様のパターンでhtml部分を記述する前にphpの終了タグを記述し、
html部分を抜けたらphp開始タグを記述すればよいのです。

今回の例だと、

<?php
if(is_single()) { $current_id = get_the_ID(); } //投稿記事詳細ページの場合のみIDを取得
$myposts = get_posts('category=21 & showposts=30 & order=ASC');
foreach($myposts as $post) : setup_postdata($post);
  if(isset($current_id) && ($current_id == $post->ID)) { //$current_idと同一の投稿IDだった場合
?>
    <a href="<?php the_permalink(); ?>"><?php the_title('<span class="current"">','</span>'); ?></a>
<?php  } else { ?>
    <a href="<?php the_permalink(); ?>"><?php the_title(); ?></a>
<?php  }
  endforeach;
  wp_reset_postdata();
?>

こんな感じになります。

これって、ソースコードをテーマの編集と同じコードをデフォルトのテーマに張り付け、それを編集すれば、良いかと思っているのですがいかがでしょうか？

できることはできるとは思いますが、やってもよいかどうかについてはライセンスの内容によります。
有料ライセンスとのことですので、改変はNGの可能性も多々あります。

そのあたりも含めて、このフォーラムでは有料テーマについて確かな回答はできかねるということをご留意ください。

有料テーマについては、

販売者（配布者）には確認を取ろうと思っています。

これが一番確実です。

ソースを拝見した限り、カスタムフィールドテンプレートの問題というより、ソースの記述方法自体に問題があるように思われます。

<?php the_content() ?>
はセミコロンが抜けているようです。

他のサーバーで動いていたのに今のサーバーで動かないという原因はおそらく
query_posts手前のphp開始タグが<?phpではなく省略形の<?が使用されているためですね。
参考：
http://php.net/manual/ja/language.basic-syntax.phptags.php

省略形の開始タグはサーバーの設定によって使用できるかどうかが違いますので、
phpの開始タグは必ず<?phpで始めるようにしたほうが無難です。

なお、query_posts()を使用された時はループ後に必ず
wp_reset_query();
を記述するように心がけたほうがよいです。
（query_posts自体の使用が推奨されていないという話はとりあえず置いておきます。）

ご質問にあったminimableテーマとはこれのことですかね？
http://minimable.fedeweb.net/

恐らくテーマインストール時の不具合でminimable-v201フォルダの中にminibableフォルダが存在する状態になっているのではないかと思われます。

なので、minibableフォルダをminimable-v201フォルダから出した上でminimable-v201フォルダを消去し、改めてminibableフォルダと同じ階層に子テーマを置けば、うまくいくのではないかと思います。