taku-k

'<span class="meta-nav">←</span> 前の記事へ'

を

'<span class="meta-nav" style="font-size:20px;color:#000;">← 前の記事へ</span>'

みたいに直すと何とかなったような。
すみませんスタイルの優先順位とか詳しくなくて。

.nav-previous, .nav-next {
 padding-top:10px;
 padding-bottom:10px;
 display:block;
 }

の下に追記すると良いかと
全部書くと

.nav-previous, .nav-next {
 padding-top:10px;
 padding-bottom:10px;
 display:block;
 }
.nav-previous a, .nav-next a{
 font-size: 20px;
 color: #000;
 }

直接書いても良いのでしょうが、こっちのほうが一般的で簡単ではないかと思います。

テーマ内の style.css に

.nav-previous a,
.nav-next a{
	font-size: 20px;
	color: #000;
}

sasasa24　様

$cat_name = $cat[0]->cat_name;

は削除してしまっても大丈夫です。

ACF のカテゴリーにつけたカスタムフィールドの出し方は正しいと思います。

カテゴリーのアーカイブを表示する時に、例えばカテゴリーが「映画」ならば h1 に「映画」と出力したいという事でしょうか？

それでしたら、1つ目の質問では header.php に h1 を出す記述がありましたので、category.php ではなくて header.php に書く必要があるかと。

ご質問の主旨が

• トップページには固定文
• カスタムフィールド h1 に値がある投稿ページなら post_custm で出す
• カテゴリーのアーカイブの場合には ACF で設定した カテゴリーのカスタムフィールド h1 を出す

という事だとすると category.php に記述するのではなく、先に書いた私のコードを下記のようにすると良いと思います。

<h1>
 <?php if (is_front_page()) : ?>
 <?php echo 'トップページだよーん'; ?>
 <?php elseif (is_single() && post_custom('h1')) : ?>
 <?php echo post_custom('h1'); ?>
 <?php elseif (is_category()) : ?>
<?php
 $cat_id = get_queried_object()->cat_ID;
 $post_id = 'category_'.$cat_id;
?>
 <?php the_field('h1',$post_id); ?>
 <?php else : ?>
 <?php the_title(); ?>
 <?php endif; ?>
</h1>

確認ですが、検索結果に「新着記事一覧」という項目が表示されるのですか？

カテゴリーが1つだけしか選択されていないと仮定して1番簡単な方法は

<li class="mix <?php echo $category; ?>">

を

<?php
$get_cat = wp_get_object_terms($post->ID, 'category');
?>
<li class="mix <?php echo $get_cat[0]->name; ?>">

カテゴリーが複数選択されていて、全て出したいならば foreach で複数取得する必要があるかと思います。

状況を再確認したいのですが、

archive-news.php は カスタム投稿newsのアーカイブが表示されますよね。
それと何を別のデザインにしたいのですか？