テーマの変更、プラグインの停止を行いましたが解決できませんでした。
proxyは未確認ですが、
ブラウザのクッキーを削除しても置換される前の記事が表示いたしました。
ためしに同一環境でWordpress4.9.4へバージョンアップした後に同じ手順で
h3タグを全てh2タグに置換したところ
この方法では「投稿の編集」ページでも置換された記事が表示されました。
手段についてですが
シェルからmysqlを使いwordpressで利用中のDBにクエリを実行しました。
UPDATE実施後にDB中の記事の内容を目視でも確認しましたが、置換は成功しておりました。
データベース・サイト本体というのは
上述のデータベースで確認したということ
それとは別に
実際に表示されているサイトを閲覧しディベロッパーツールで<h2>タグに代わっていることを確認したということの二点です。
phpMyAdminは利用しておりません。
接続先・DBが間違っている可能性についてですが
h3タグをh2タグに置換後
WordPress管理画面から「ツール」→「エクスポート」を選択し全記事を出力してみましたが、
こちらも置換された内容が出力されました。
早速のご考察ありがとうございます。