ご返信ありがとうございます！
h3 タグが id 属性を持っていたりしませんか？
はい、持っています。
持っている場合この書き方だとおかしいのでしょうか、、？
以下に訂正し、無事表示ができました。
// 正規表現を使用して <h3>...</h3> の内容を抽出
preg_match_all('/<h3>([^<]+)<\/h3>/', $content_before_h2, $matches);
↓
preg_match_all('/<h3[^>]*>(.*?)<\/h3>/', $content_before_h2, $matches);
ありがとうございました。
